Продолжая использовать сайт, вы даете свое согласие на работу с этими файлами.
Преобразование Радона
Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.
Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.
Содержание
Двумерное преобразование Радона
Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.
Пусть функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции называется функция
- (1)
Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору и проходящей на расстоянии (измеренного вдоль вектора , с соответствующим знаком) от начала координат.
Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения
Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции
- (2)
Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору , и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим , мы выберем новые переменные . Сделав замену переменных в интеграле, получаем
т.е.
- (3)
Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции есть не что иное как двумерное преобразование Фурье от функции . Поскольку преобразование Фурье функции существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции . Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.
Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом
Для наших целей удобно переписать эту формулу в полярных координатах
- ,
что, учитывая (3), немедленно даёт формулу обратного преобразования Радона
- (4),
где .
Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции из её проекций , называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке двумерный спектр (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от . Существуют и другие методы реконструкции из
Теорема о центральном сечении
Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от :
Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении:
Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции представляет собой спектр функции вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом . Таким образом Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции . В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.
Применение преобразования Радона
В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна , где показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.
Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.
Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных
Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:
- (2)
Здесь мы обозначили — радиус-вектор из начала координат, — двумерный элемент объёма, — единичный вектор, который можно параметризовать как . С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.
Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под , и понимать соответственно -мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в -мерном пространстве и -мерный единичный вектор. В принципе, вектор можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация .
Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору и проходящей на расстоянии от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором ).
Обращение многомерного преобразования Радона
В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.
Рассмотрим преобразование Фурье от по переменной , то есть
- .
Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим
- .
Заметим теперь, что есть интеграл по всему -мерному пространству (здесь под интегралом подразумевается интеграл по -мерной сфере, в частности, для , для ). Из этого следует, что
- .
Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения
- .
См. также
- ↑ J. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften, Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917.
- ↑ Глава 1 (недоступная ссылка). Дата обращения 15 октября 2012. Архивировано 18 сентября 2010 года.
- ↑ S.R. Deans, S.Roderick "The Radon Transform and Some of its Applications" Wilwy, New York, 1983 (англ.)